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Exemple de morphisme de groupe

Solution: nous savons que le produit de deux permutations à la fois même ou les deux impair est même alors que le produit d`une même et une permutation impaire est impair. Manuel de mathématiques, 3e éd. Par exemple, un homomorphisme des groupes topologiques est souvent exigé pour être continu. Par exemple, l`anneau endomorphisme du groupe abélien composé de la somme directe de m copies de Z/nZ est isomorphe à l`anneau des matrices m-by-m avec des entrées en Z/nZ. Semendyayev, K. En particulier, l`image de est un sous-groupe et le noyau de groupes, i. les notations plus anciennes pour l`homomorphisme h (x) peuvent être XH ou XH, bien que cela puisse être confondu en tant qu`indice ou sous-scripte général. Le noyau et l`image d`un homomorphisme peuvent être interprétés comme mesurant à quel point il est proche d`être un isomorphisme. Bronshtein, je.

Cette approche est particulièrement répandue dans les domaines de la théorie des groupes où les automates jouent un rôle, car il concorde mieux avec la Convention que les automates lisent des mots de gauche à droite. New York: Springer-Verlag, 1997. Notez qu`un homomorphisme doit préserver la carte inverse parce que, donc. Exemple 3: montrer qu`un homomorphisme du groupe s simple est trivial ou un-à-un. Puisque $H $ est un sous-groupe approprié, $ Phi $ est un homomorphisme $G rightarrow G $ qui est injective mais pas surjective. La compatibilité ci-dessus montre également que la catégorie de tous les groupes abéliens avec des homomorphismes de groupe forme une catégorie préadditive; l`existence de sommes directes et de grains bien élevés fait de cette catégorie l`exemple prototypique d`une catégorie abélienne. Cela montre que la classe de tous les groupes, ainsi que les homomorphismes de groupe comme morphismes, forme une catégorie. Par conséquent, un homomorphisme de groupe mappe l`élément Identity dans l`élément Identity dans:. Exemple 1: Let, qui forme un groupe sous multiplication et le groupe de tous les entiers sous addition, prouvent que le mappage de sur tel qu`est un homomorphisme. Un autre exemple: $ $f: mathbb Q_ + tomathbb Q_ +, f (q) = q ^ 2 $ $ où $ mathbb Q_ + $ est le groupe de rationnels positifs sous multiplication. Le premier théorème d`isomorphisme indique que l`image d`un homomorphisme de groupe, h (G) est isomorphe au groupe quotient G/Ker h.

Si h: G → H et k: H → K sont des homomorphismes de groupe, alors est k ∘ h: G → K. Si G et H sont abéliens (i. Le but de la définition d`un homomorphisme de groupe est de créer des fonctions qui préservent la structure algébrique. Dans la réponse d`azimut, vous avez l`exemple $ mathbb{Z} cong 2 mathbb {Z} $. Si $f: G rightarrow G $ est injective mais pas surjective, alors $f (G) $ est un sous-groupe approprié de $G $ et $f (G) cong G $. Dans les domaines des mathématiques où l`on considère les groupes dotés d`une structure supplémentaire, un homomorphisme signifie parfois une carte qui respecte non seulement la structure du groupe (comme ci-dessus), mais aussi la structure supplémentaire. La commutativité de H est nécessaire pour prouver que h + k est à nouveau un homomorphisme de groupe. Si et seulement si Ker (h) = {eG}, l`homomorphisme, h, est un monomorphisme de groupe; i. ainsi, trouver un exemple d`un homomorphisme $f: G rightarrow G $ qui est injective mais non surjective équivaut à trouver un sous-groupe approprié $H $ tel que $H cong G $. En d`autres termes, le groupe H dans un certain sens a une structure algébrique similaire à G et l`homomorphisme h préserve que.

Puisque la composition est associative, cela montre que l`ensemble end (G) de tous les endomorphismes d`un groupe abélien forme un anneau, l`anneau endomorphisme de G. on peut donc dire que h “est compatible avec la structure du groupe”. Le noyau est en fait un sous-groupe normal, comme c`est la préimage d`un sous-groupe normal de. En outre, si $H $ est un sous-groupe adéquat de $G $ et $H cong G $, il existe un isomorphisme $ Phi: G rightarrow H $. Par conséquent, tout homomorphisme (non trivial) d`un groupe simple doit être injective. Voici quelques exemples du concept d`homomorphisme de groupe..

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